Слитное написание частицы НЕ с последующим прилагательным корректно.
Корректная пунктуация: Пытаться вспомнить, рабочий сегодня день или можно остаться в кровати, тоже не хотелось.
Буквально: не запачкаться, не замараться. В переносном смысле: не запятнать репутацию.
Это выражение не является фразеологизмом.
Верно: остаться незамеченным.
Правильно: за бОртом.
Верно: остаться на сколько захочу (на определенное время); остаться насколько захочу (в определенной степени, в зависимости от желания).